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2014-06-30T15:42:05-03:00

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Olá Bizi,

dada a equação exponencial,

2^{2x+1}-2^{x+4}=2^{x+3}-64

use as propriedades da exponenciação:

2^{2x}*2^1-2^x*2^4=2^x*2^3-64\\
(2^x)^2*2-2^x*16=2^x*8-64\\
2*(2^x)^2-16*2^x=8*2^x-64\\
2*(2^x)^2-16*2^x-8*2^x+64=0\\
2*(2^x)^2-24*2^x+64=0\\\\
fazendo~2^x=k,~teremos:\\\\
2*(k)^2-24*(k)+64=0\\
2k^2-24k+64=0~\to~divida~por~2:\\
k^2-12k+32=0

k= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\\\
k= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^2-4*1*32} }{2*1}~\to~\dfrac{12\pm \sqrt{144-128} }{2}\\\\\\
~\to~k= \dfrac{12\pm \sqrt{16} }{2}~\to~k= \dfrac{12\pm4}{2}\begin{cases}k'= \dfrac{12-4}{2}= \dfrac{8}{2}=4\\\\
k''= \dfrac{12+4}{2} = \dfrac{16}{2}=8   \end{cases}

Retomando a variável original,

2^x=k

para k=4:

2^x=4\\
~2^x=2^2\\
\not2^x=\not2^2\\\\
x'=2


para k=8:

2^x=8\\
2^x=2^3\\
\not2^x=\not2^3\\\\
x''=3

Portanto, a soma das raízes é:

S=x'+x''\\
S=2+3\\\\
\boxed{S=5}

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))
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