Respostas

2014-07-02T19:54:06-03:00
A única informação que a questão dá é que sen(2 \alpha )=\frac{3}{5}. Contudo, a relação fundamental:

sen^{2}\beta+cos^{2}\beta=1 

é válida para qualquer ângulo  \beta .

Dessa forma, temos mais uma informação importante: 

sen^{2}(2\alpha)+cos^{2}(2\alpha)=1

E dessa última relação, podemos substituir:

sen^{2}(2\alpha)=\frac{9}{25}. Ficando com:


cos^{2}(2\alpha)=1 -\frac{9}{25} \\ cos^{2}(2\alpha)=\frac{16}{25}\\cos(2\alpha)=\sqrt{\frac{16}{25}}\\cos(2\alpha)=\frac{4}{5}

Guardando esse resultado, temos também a seguinte relação (adição de arcos):

cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha-sen^{2}\alpha \\e\\sen(2\alpha)=2(sen\alpha)(cos\alpha)

isolando o sen\alpha da segunda relação e inserindo na primeira, temos:

cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha-(\frac{sen(2\alpha)}{2cos\alpha})^{2}

Substituindo os valores numéricos encontrados logo no início da resolução:

\frac{4}{5}=cos^{2}\alpha-(\frac{3}{10cos\alpha})^{2}\\\\\frac{4}{5}=cos^{2}\alpha-\frac{9}{100cos\alpha}

multiplicando toda a equação por cos^{2}\alpha
:

\frac{4cos^{2}\alpha}{5}=cos^{4}\alpha}-\frac{9}{100}

igualando a zero:

cos^{4}\alpha}-\frac{4cos^{2}\alpha}{5}-\frac{9}{100}=0

usando uma incógnita auxiliar, podemos dizer que: cos^{2}\alpha=x. Assim, teremos a seguinte equação do segundo grau:

x^{2}-\frac{4}{5}x-\frac{9}{100}

resolvendo por Bháskara, obtemos:

x' = 9/10 e x''= - 1/10

Como cos^{2}\alpha=x, então:

cos^{2}\alpha=\frac{9}{10} \\ ou\\cos^{2}\alpha=-\frac{1}{10}

A última equação já está descartada, pois não existe raiz de número negativo. Ficamos com a primeira:

cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{9}{10}}

Extraindo as raízes e racionalizando:

cos\alpha=\pm\frac{3\sqrt{10}}{10}}

Como só podemos ter um valor, iremos considerar o resultado positivo, pois o ângulo está no primeiro quadrante.

Pronto! Encontramos o valor do cosseno. Para encontrar o seno, use a relação fundamental. E, finalmente, divida o seno encontrado pelo cosseno e encontre o tangente.

Espero que tenha entendido. É muito fácil!
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Tenho certeza que está certo. Usei um software algébrico computacional.