O lucro (ou prejuízo) L de uma pequena empresa é calculado pela diferença entre a receita R e o custo C. Nessa empresa, a receita e o custo são dados respectivamente, pelas funções R(x)=180x-x² e c(x)= 30x + 1200. em reais, em que x representa a quantidade vendida de determinados itens.
a) Se essa empresa não vender nenhum item no mes, ela terá lucro ou prejuízo? De quantos reais?
b)Determinar a função lucro de L
c) Quantos itens devem ser vendidos nessa empresa para que o lucro seja máximo?

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Respostas

A melhor resposta!
2014-07-09T18:07:23-03:00
Olá Anas,

a) Para determinar se essa empresa terá lucro ou prejuízo no caso de não vender nenhum produto, vamos primeiro encontrar a função do lucro L em função dos itens vendidos x. O problema nos disse que essa função é a subtração entre a receita R e o custo C, então:
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 180x -x² -30x -1200
L(x) = -x² +150x -1200

Para descobrir o lucro quando a empresa não vender nenhum produto, vamos atribuir para x o valor 0:
L(x) = (-0)² +150(0) -1200
L(x) = -1200 R$

Como o lucro é negativo nesse caso, concluímos que, quando essa empresa vender nenhum produto, ela terá um prejuízo de 1.200 R$.

b) Como já determinamos acima, a função do Lucro em função das unidades vendidas é:
L(x) = -x² +150x -1200

c) Observe que a função do lucro é uma função quadrática onde seu gráfico é representado por uma parábola com concavidade voltara para baixo (pois o coeficiente a é negativo). Desse modo, o vértice V dessa parábola é o ponto onde a ordenada de lucro L será máxima em função do ponto de abcissa X. Como a questão quer saber quantos produtos devem ser vendidos, ela quer saber qual é esse ponto de abcissa que faz parte do vértice da parábola. Esse ponto pode ser facilmente obtido através da relação:
Xv = -b/2a
Substituindo:
Xv = -150/-2
Xv = 75

Então, para que o lucro seja máximo, essa empresa deve vender 75 unidades do produto.

Bons estudos!
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