Por favor me ajudeeem!!!

1) um grupo de 20 pessoas, dos quais 5 são matemáticos. De quantas formas podem se formar comissões de 10 pessoas de modo que:
a- Nenhum membro seja matemático
b- Todos os matemáticos participem
c- Haja exatamente um matemático
d- Se pelo menos dois membros sejam matemáticos.

Obg!!!

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Respostas

2014-07-09T20:35:19-03:00
Oi Jm.
Essa é uma questão muito complicada, pois iremos mexer com números muito grandes.

Mas vamos lá:

Na letra A, ele quer saber a quantidade de comissões que podem ser formadas por 10 pessoas, sem que haja matemáticos.
Olha só:
15 pessoas NÃO são matemáticos e 5 SÃO matemáticos. Então teremos uma combinação 15,10

C_{ 15,10 }=\frac { 15*14*13*12*11*10*9*8*7*6 }{ 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 } =\frac { 10.897.286,400 }{ 3.628,800 }=3.003

Se usar a fórmula complica muito isso, o que fiz foi o seguinte, se é uma combinação 15,10, eu desço o 15 10 vezes e divido pelo 10 fatorial, irei fazer isso sempre nas outras alternativas, é mais simples e prático.


Na letra B ele quer que todos matemáticos participem, então teremos uma combinação 15,5.
É só descer o 15 cinco vezes e dividir pelo 5 fatorial

C_{ 15,5 }=\frac { 360,360 }{ 5*4*3*2*1 } =\frac { 360,360 }{ 120 } =3.003


Na letra C ele quer que exatamente 1 matemático esteja nessa combinação.
Então teremos uma combinação 15,9.
Lembrando que o total de comissões é 10, mas eu tenho que retirar essa vaga que já está reservada, então fica 9.

C_{ 15,9 }=\frac { 15*14*13*12*11*10*9*8*7 }{ 9*8*7*6*5*4*3*2*1 } =\frac { 1.826,214,400 }{ 362,880 } =5,005


Na letra D tudo fica mais simples, ele quer pelo menos um membro matemático nesse meio aí. Vamos fazer o total de comissões que podem ser formada ao todo e diminuir pela combinação dos matemáticos, ou seja, o resultado da letra B.

C_{ 20,10 }=\frac { 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 }{ 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 } =\frac { 670,442,572,800 }{ 3,628,800 } =184,756\\

184,756-3,003=181,753