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2014-07-13T23:08:43-03:00
Se três pontos são colineares, ou seja, se estão contidos em uma mesma reta, o determinante de dois vetores formados pelos pontos dados é igual a zero.

A(0,-3)
B(-2m,11)
C(-1,10m)

a = AB = (-2m,11) - (0,-3) = (-2m, 14)
b = AC = (-1,10m) - (0,-3) = (-1,10m+3)
c = BC = (-1,10m) - (-2m,11) = (-1+2m, 10m-11)

Determinante dos vetores a e b.

I -2m          14  I
I -1       10m+3 I = 0

(-20m² -6m) - (-14) = 0
-20m² - 6m + 14 = 0 (-1)
 20m² + 6m - 14 = 0 (÷2)
 10m² + 3m - 7 = 0

Δ = b² - 4ac ⇒ Δ = 3² - 4 10(-7) ⇒ Δ = 9 + 280 = 289

m = (-b + ou - √Δ)/2a 
m = (-3 + ou - √289)/2 10
m= (-3+ ou - 17)/20

m₁ = 14/20 = 7/10       e              m₂ = -20/20 = -1

Determinante dos vetores a e c

I -2m                    14 I
I -1+2m       10m - 11 I = 0

(-20m² + 22m) - (-14 + 28m) = 0
 -20m² - 6m +14 = 0 (-1)
  20m² + 6m - 14 = 0 (÷2)
  10m² + 3m - 7 = 0

Como a equação é a mesma, as raízes também são as mesmas.