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2013-07-30T16:52:36-03:00

Acho que o gabarito está errado, pois resolvendo a questão, encontrei a letra A. Confira meu cálculo e veja se há algo errado

A questão busca o valor de:

\dfrac{\text{cosec}\;x-\text{sec}x}{\text{cotg}x-1}

Desenvolvendo a expressão, temos:

\dfrac{\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}-1}

\dfrac{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}}{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x}}=\dfrac{\cos\;x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}\times\dfrac{\sin x}{\cos x-\sin x}

=\dfrac{1}{\cos x}

Agora calculamos \cos x:

\sin^{2}x+\cos^{2}x=1

(\dfrac{1}{3})^{2}+\cos^{2}x=1

\dfrac{1}{9}+\cos^{2}x=1

\cos^{2}x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{9-1}{9}

\cos^{2}x=\dfrac{8}{9}\Longrightarrow \cos x=\sqrt{\dfrac{8}{9}}

\cos x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

Agora podemos calcular o valor da expressão:

\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}

\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\Longrightarrow Letra A

Resposta: Letra A