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2017-01-01T09:18:27-02:00

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Enunciado:

Quantas diagonais não passam pelo centro de um polígono que possui 100 lados?

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Solução:

Assumindo que trate-se de um polígono regular, embora não esteja explícito no enunciado.


Temos um polígono regular com

\mathsf{n=100~lados}


Em todo polígono regular com número par de lados, uma diagonal passará pelo centro somente se as extremidades desta diagonal forem vértices diametralmente opostos.

A quantidade de pares de vértices diametralmente opostos em um polígono regular é igual à metade do número total de vértices/lados.

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Para o polígono em questão, temos

\mathsf{n=100},

que é par. Portanto, a quantidade de diagonais que passam pelo centro é

\mathsf{\dfrac{n}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{100}{2}}\\\\\\ =\mathsf{50~diagonais}

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Chamemos \mathsf{x} a quantidade de diagonais que não passam pelo centro.


O total de diagonais \mathsf{\#d} é igual à soma da quantidade das que passam pelo centro com a quantidade das que não passam pelo centro:

\mathsf{\#d=\dfrac{n}{2}+x}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\#d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{n}{2}+x}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n(n-3)}{2}-\dfrac{n}{2}}

\mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot \big[(n-3)-1\big]}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot (n-4)}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{100}{2}\cdot (100-4)}

\mathsf{x=50\cdot 96}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=4\,800} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}


Em um polígono regular de 100 lados, 4800 diagonais não passam pelo centro.


Bons estudos! :-)


Tags:   número quantidade diagonal centro polígono regular geometria plana

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