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A melhor resposta!
2014-07-19T02:01:49-03:00
 \int\ {2 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7}  } \, dx

Para resolver deveremos utilizar o método da substituição.

u =  x^{4} + 2
du = 4 x^{3} dx

Olhando para a integral, precisamos achar algo para igualar a du, mas temos apenas 2 x^{3} dx . Então, vamos "criar" essa multiplicação dentro da integral:

\int\ {2. 2 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx \int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx

fazemos isso para poder aparecer 4x³ dx, e assim, substituir isso por du. Nada pode ser ignorado. Como multiplicamos por 2 dentro da integral, para equilibrar, vamos dividir por 2 fora da integral, veja:

 \frac{1}{2} \int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx

Agora podemos substituir u e du:

\frac{1}{2} \int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx =\frac{1}{2} \int\ { u^{7}  } \, du

Muito  fácil de integrar agora, veja:

\frac{1}{2} \int\ { u^{7} } \, du = \frac{1}{2} .  \frac{ u^{8} }{8} =  \frac{ u^{8} }{16} + C

Agora, basta substituir u =  x^{4} + 2

\frac{ u^{8} }{16} + C = \frac{ ( x^{4} + 2 )^{8} }{16} + C

Tentei explicar o máximo possível..


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Nossa ,ficou ótima sua explicação , Vc fez eu resolver mais de um exercício com isso . Muito muito obrigada mesmo..
Imagina, que bom que ajudei :)