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2014-07-21T11:09:39-03:00
Oi Blaami.

Primeiro vamos ajeitar esse Log para que ele fique certinho. Uma propriedade do Log diz que o expoente do Logaritmando pode ir na frente do Log multiplicando, então podemos fazer esse caminho de volta, aquele 2 está multipkicando o Log, então podemos trazer ele para ser expoente do X. O outro Log está com expoente negativo, basta trocar a base pelo Logaritmando que aquele expoente some.
Então vai ficar assim.

2Log_{ y }x\quad +\quad (Log_{ x }y)^{ -1 }=6\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ Log_{ y }x^{ 2 }\quad +\quad Log_{ y }x=6\\ x\quad -\quad y=12

Agora as bases são iguais, então eu posso usar outra propriedade, que diz que quando tivermos uma soma podemos multiplicar os Log.

Log_{ y }x^{ 2 }*x=6\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ Log_{ y }x^{ 3 }=6\\ x\quad -\quad y=12

Agora é só usar a regra da voltinha para eliminar esse Log.

y^{ 6 }=x^{ 3 }\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ y^{ 2 }=x\\ x\quad -\quad y=12

Agora é só substituir esse X por y² na equação de baixo.

x\quad -\quad y=12\\ y^{ 2 }-y-12=0

Caímos em uma equação de 2° grau, irei resolver por Soma e Produto.

S=-3+4=1\\ P=-3*4=-12

O exercício fala que x>1, então esse -3 está descartado.
Agora é só substituir o 4 pelo Y.

x=y^{ 2 }\\ x=4^{ 2 }\\ x=16

Achamos o valor de x, agora é só substituir na equação e encontraremos y.

x-y=12\\ 16-y=12\\ 16-12=y\\ 4=y

Então temos:
X=16
Y=4

X+y=?

16+4=20

R:C
2 5 2