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2014-07-21T18:35:57-03:00

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Olá Shirley,

pelos dados da P.G. infinita, temos que:

\begin{cases}a_1=2^{1+x}\\
q= \dfrac{a_2}{a_1}\therefore q= \dfrac{2^{1+2x}}{2^{1+x}}\therefore q=2^{1+2x}*2^{-1-x}\therefore q=2^{1-1+2x-x}\therefore q=2^x\\
S\infty= \dfrac{2}{3}\end{cases}

Sabendo-se disso, vamos substituir esses dados na fórmula da soma dos n infinitos termos da P.G. e acharmos x:

S_n= \dfrac{a_1}{1-q}~~~\to~ \dfrac{2}{3}= \dfrac{2^{1+x}}{1-2^x}~~~\to~ \dfrac{2^1*2^x}{1-2^x}= \dfrac{2}{3}~~~\to~ \dfrac{2*2^x}{1-2^x}= \dfrac{2}{3}

Usando uma variável auxiliar, fazendo    2^x=k    , podemos fazer:

 \dfrac{2*k}{1-k}= \dfrac{2}{3}~~~\to~ \dfrac{2k}{1-k}= \dfrac{2}{3}

Multiplicando cruzado, teremos:

2k*3=2(1-k)\\
6k=2-2k\\
6k+2k=2\\
8k=2\\\\
k= \dfrac{2}{8}= \dfrac{2:2}{8:2}= \dfrac{1}{4}

Retomando a variável original, aí obteremos x igual a:

2^x=k\\\\
2^x= \dfrac{1}{4}\\\\
2^x=2^{-2}\\
\not2^x=\not2^{-2}\\\\
x=-2

Tenha ótimos estudos =))
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