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2014-07-28T19:37:59-03:00
Esse tipo de simplificação exige conhecimento dos produtos notáveis e uma certa maldade por parte do aluno.

Observe o numerador

x^3+8

Olhando dessa forma parece que não é possível fatorar daí vem que:

x^3+2^3

que é um produto notável na forma :

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)

Vejamos o denominador

x^2+4x+4

note que é um trinômio quadrado perfeito

x^2+4x+4=(x+2)^2~\to~(x+2)(x+2)

Reescrevendo o quociente na forma fatorada :

\boxed{ \frac{x^3+8}{x^2+4x+4} ~\to~ \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x+2)(x+2)} ~\to~ \frac{x^2-2x+4}{x+2} }

Espero que tenha entendido.