A seção transversal de um reservatório cilíndrico que armazena 70 litros de álcool é de 1400 cm2. Inicia-se o esvaziamento do tanque, abrindo-se, no fundo desse tanque, um orifício de seção circular constante de 10 cm2. Sabe-se que a velocidade de saída da água é dada por  v=\sqrt{2gh} , sendo h a profundidade do álcool no reservatório, e g = 9,8 m/s2 . Qual é o tempo necessário para se esvaziar o reservatório?

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2017-01-12T11:23:01-02:00

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•  Área da seção transversal do reservatório:  \mathsf{A_b=1\,400~cm^2;}


•  Volume inicial de álcool no reservatório:

\mathsf{V(0)=70~L}\qquad\qquad\textsf{(mas }\mathsf{1~L=1\,000~cm^3}\textsf{)}\\\\ \mathsf{V(0)=70\cdot 1\,000~cm^3}\\\\ \mathsf{V(0)=70\,000~cm^3;}


•  Área do orifício de seção circular (constante):  \mathsf{A_s=10~cm^2;}


•  Aceleração da gravidade:

\mathsf{g=9,\!8~m/s^2}\qquad\qquad\textsf{(mas }\mathsf{1~m=100~cm}\textsf{)}\\\\ \mathsf{g=9,\!8\cdot (100~cm)/s^2}\\\\ \mathsf{g=980~cm/s^2.}

________


Sejam

•  \mathsf{h(t)} a altura da coluna de álcool no reservatório (em cm);

•  \mathsf{V(t)} o volume de álcool presente no reservatório (em cm³);

•  \mathsf{Q(t)} a vazão de álcool para o reservatório (em cm³/s);


todas expressas em função do instante \mathsf{t\ge 0} (em segundos).


Altura inicial de álcool no reservatório:

\mathsf{h(0)=\dfrac{V(0)}{A_b}}\\\\\\ \mathsf{h(0)=\dfrac{70\,000}{1\,400}}\\\\\\ \mathsf{h(0)=50~cm}\qquad\quad\checkmark


O volume de álcool presente no reservatório em qualquer instante é dado por

\mathsf{V(t)=A_b\cdot h(t)}\\\\ \mathsf{V(t)=1\,400\cdot h(t)\qquad\quad(i)}


A velocidade de saída da água do reservatório (em cm/s) é dada por

\mathsf{v(t)=\sqrt{2g\cdot h(t)}}\\\\ \mathsf{v(t)=\sqrt{2\cdot 980\cdot h(t)}}\\\\ \mathsf{v(t)=\sqrt{1\,960\cdot h(t)}}\\\\ \mathsf{v(t)=\sqrt{14^2\cdot 10\cdot h(t)}}\\\\ \mathsf{v(t)=14\sqrt{10\cdot h(t)}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{velocidade de sa\'ida pelo orif\'icio.}


Como o reservatório está esvaziando, a vazão \mathsf{Q(t)} é sempre negativa, e é dada por

\mathsf{Q(t)=-A_s\cdot v(t)}\\\\ \mathsf{\dfrac{d}{dt}\big[V(t)\big]=-A_s\cdot v(t)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{d}{dt}\big[1\,400\cdot h(t)\big]=-10\cdot 14\sqrt{10\cdot h(t)}}


Desenvolvendo,

\mathsf{1\,400\cdot \dfrac{d}{dt}\big[h(t)\big]=-140\sqrt{10\cdot h(t)}}\\\\\\ \mathsf{140\cdot 10\cdot \dfrac{dh}{dt}=-140\sqrt{10}\cdot \sqrt{h(t)}}\\\\\\ \mathsf{10\cdot \dfrac{dh}{dt}=-\sqrt{10}\cdot \sqrt{h(t)}}

\mathsf{\dfrac{dh}{dt}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\cdot \sqrt{h(t)}}


Aqui temos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, homogênea, mas não-linear, e asvariáveis são separáveis.

A solução constante nula \mathsf{h(t)=0} não satisfaz o problema. Vamos em busca das soluções não-nulas.


Rearrumando, a EDO fica

\mathsf{\dfrac{dh}{\sqrt{h}}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,dt}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dh}{h^{1/2}}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,dt}\\\\\\ \mathsf{h^{-1/2}\,dh=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,dt}


Integrando ambos os lados, obtemos

\mathsf{\displaystyle \int h^{-1/2}\,dh=\int\bigg(-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\, t\bigg)dt}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{h^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,dt+C}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{h^{1/2}}{\;\frac{1}{2}\;}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,t+C}\\\\\\ \mathsf{2\sqrt{h}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,t+C}

\mathsf{\sqrt{h}=\dfrac{1}{2}\cdot \bigg(\!\!-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\,t+C\bigg)}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{h}=-\,\dfrac{\sqrt{20}}{10}\,t+\dfrac{C}{2}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{h}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t+C_1}\qquad\qquad\textsf{onde }\mathsf{C_1=\dfrac{C}{2}}


Para encontrar o valor da constante \mathsf{C_1}, usamos o valor inicial.

\mathsf{Quando~t=0\quad\Rightarrow\quad h=50:}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{50}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{20}\cdot 0+C_1}\\\\\\ \mathsf{C_1=\sqrt{50}}\qquad\quad\checkmark


Então, ficamos com

\mathsf{\sqrt{h}=-\,\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t+\sqrt{50}}\\\\\\ \begin{array}{lcl} \mathsf{\therefore~~h(t)=\bigg(\sqrt{50}-\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t\bigg)^{\!2}}&\quad\longleftarrow\quad&\textsf{altura da coluna de \'alcool no reservat\'orio,}\\ &&\textsf{em fun\c{c}\~ao do tempo }\mathsf{(t\ge 0).} \end{array}


O tempo necessário para esvaziar o reservatório é exatamente o instante em que a altura da coluna de álcool no reservatório é igual a zero:

\mathsf{h(t)=0}\\\\ \mathsf{\bigg(\sqrt{50}-\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t\bigg)^{\!2}=0}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{50}-\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t=0}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{50}=\dfrac{\sqrt{10}}{20}\,t}

\mathsf{t=\dfrac{20}{\sqrt{10}}\cdot \sqrt{50}}\\\\\\ \mathsf{t=20\sqrt{5}~s}


Considerando como aproximação \mathsf{\sqrt{5}\approx 2,\!24}, temos que

\mathsf{t\approx 20\cdot 2,\!24}\\\\ \mathsf{t\approx 44,8}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t\approx 45~s} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta (valor aproximado).}


O reservatório leva aproximadamente 45 segundos para esvaziar.


Bons estudos! :-)


Tags:   engenharia equação diferencial ordinária edo variáveis separáveis separadas problema de valor inicial pvi condições de contorno integral aplicação hidrodinâmica

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