AJUDA AEW PESSOAL NAO CONSEGUI RESOLVER... ISSO É UM SISTEMA OK O 1 A ARETE DE CIMA E O 21 A PARTE DE BAIXO

PARTE 1 DO SISTEMA LOG(X+Y) = -1
1/4
PARTE 2 DO SISTEMA 2LOGX+ LOGY =3
2 2

1
explicando parte 1 do sistema log de x mais y na base 1/4 é igual a menos 1 e a parte 2 duas log de x na base 2 mais 2 log de y na base 2 é igual a 3

Respostas

2014-07-30T21:06:50-03:00

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E aí Pedro,

vamos usar as seguintes propriedades de log:

.......................................\\
log_bc=k~\to~b^k=c\\
loga+logb~\to~log(a*b)\\
klogb~\to~logb^k\\
.......................................

\begin{cases}log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1~~(I)\\
2log_2x+log_2y=3~~(II) \end{cases}

Isolando x na equação I, podemos substituí-lo na equação II:

log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1\\\\
\left( \dfrac{1}{4}\right)^{-1}=x+y\\\\
x+y=(2^{-2})^{-1}\\
x+y=2^2\\
x+y=4\\
x=y-4

2log_2x+log_2y=3\\
2log_2(4-y)+log_2y=3\\
log_2(4-y)^2+log_2y=3\\
log_2(y^2-8y+16)+log_2y=3\\
log_2(y^2-8y+16)*y=3\\
y(y^2-8y+16)=2^3\\
y^3-8y^2+16y=8\\
y^3-8y^2+16-8=0\\\\
(y-2)(y^2-6y+4)=0\\\\
\begin{cases}y-2=0\\
y'=2\end{cases}\begin{cases}y^2-6y+4=0\\
\Delta=(-6)^2-4*1*4\\
\Delta=36-16\\
\Delta=20\\\\
x= \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{20} }{2*1}= \dfrac{6\pm2 \sqrt{5} }{2}=3\pm \sqrt{5}\end{cases}

Tendo achado y, podemos substituí-lo em uma das equações e acharmos x:

Para y=2, x valerá:

log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1\\\\
\left( \dfrac{1}{4}\right)^{-1}=x+2\\\\
(2^{-2})^{-1}=x+2\\
x+2=2^2\\
x+2=4\\
x=4-2\\
x=2

Para y=3+√5, x valerá:

log_{ \tfrac{1}{4}}\left(x+3+\sqrt{5}\right)=-1\\\\
x+3+ \sqrt{5}=4\\
x=4-3-\sqrt{5}\\
x=1- \sqrt{5}

Para y=3-√5, x valerá:

log_{ \tfrac{1}{4}}\left(x+3- \sqrt{5}\right)=-1\\\\
x+3- \sqrt{5}=4\\
x=4-3+ \sqrt{5}\\
x=1+ \sqrt{5}

Portanto, a solução do sistema acima é:

\boxed{S=\left\{\left(2,2\right);\left(1- \sqrt{5},~3+ \sqrt{5}\right);\left(1+ \sqrt{5},~3- \sqrt{5}\right)\right\}}

Tenha ótimos estudos =))
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