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2014-08-01T11:14:35-03:00
A) 12x^{4}  - 16 x^{3} + 4x        l_4x__

Para realizar-se uma divisão de polinômios o grau do dividendo (no caso, 12 x^{4} ) precisa ser maior do que o grau do primeiro algarismo do divisor (4x)                                                            12x⁴ = 3x³, logo:
                                            4x

12x^{4} - 16 x^{3} + 4x        l_4x__
                                      3x³
Agora, necessitamos multiplicar o quociente por todo o divisor e por -1:
12x^{4} - 16 x^{3} + 4x        l_4x__
-12x⁴                               3x³
------------------
           -16x³ + 4x

Repita o processo até encontrar o resto. 

12x^{4} - 16 x^{3} + 4x        l_4x__
-12x                               3x³ - 4x² + 1
---------------------------
           -16x³ + 4x
            16x³
           -------------------
                       4x
                        0 (Resto 0)


O mesmo ocorrerá na letra B:

b) (10x³y³-20x²y³-xy⁴):(2xy)

10x³y³ - 20x²y³ -xy⁴          l__2xy__
                                            5x²y² - 10xy² - 0,5 x^{0}
-10x⁴y³
---------------------------
          - 20x²y³ - xy⁴    
          +20x²y³
         ---------------------
                        -xy⁴
                       +1xy⁴
                     ------------
                          0

                         
Porém, precisamos prosseguir com os cálculos, e para tal é necessário multiplicar novamente o valor encontrado por você (3x³) pelo divisor, para passá-lo ao outro lado e encontrar o resto. Porém, ao passar de volta para a esquerda você terá que multiplicar por -1 (caso contrário os valores não se anulariam).
3x³ . -4x = -12x⁴
12x⁴ - 16x³ + 4x
-12x⁴
----------------------
-16x³ + 4x (este é o seu divisor após a realização de 12x⁴/4x)
Agora você repete a brincadeira, compreende? Até eliminar o dividendo ou torná-lo indivisível pelo divisor (nesse caso, o expoente do primeiro valor do polinômio deveria ser menor que o do divisor)
Continuando para você:

-16x³ + 4x l__4x__
- 4x²

(Multiplicação por -1 para encontrar o resto:)