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2014-08-03T20:13:16-03:00

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Observe que:

log_2\left(\frac{1}{x}\right)=log_2x^{-1}=-log_2x=-\frac{log_4x}{log_42}=-\frac{log_4x}{\frac{1}{2}}=-2log_4x

Substituindo na equação original:

\left(\frac{2-log_4x}{1+log_4x}\right)^2=2-2log_4x\\
\\
Substituindo: \ \ y=log_4x\\
\\
\left(\frac{2-y}{1+y}\right)^2=2-2y\\
\\
\frac{4-4y+y^2}{1+2y+y^2}=2-2y\\
\\
(2-2y)(1+2y+y^2)=4-4y+y^2\\
\\
-2 y^3-2 y^2+2 y+2=4-4y+y^2\\
\\
-2 y^3-2 y^2+2 y+2-4+4y-y^2=0\\
\\
-2y^3-3y^2+6y-2=0

Pesquisando as raízes desta equação (por qualquer método), temos:

S=\{\frac{1}{2}; -1-\sqrt3; \sqrt3-1 \}

Substituindo:

log_4x=\frac{1}{2}\\
\\
\boxed{x_1=4^{\frac{1}{2}}=2}\\
\\
log_4x=-1-\sqrt3\\
\\
\boxed{x_2=4^{-1-\sqrt3}}\\
\\
log_4x=\sqrt3-1\\
\\
\boxed{x_3=4^{\sqrt3-1}}

2 5 2
a solução dessa equação é apenas 2 =/