) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km2, a área total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.

EXPLICAÇÃO DETALHADA, POR FAVOR

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Respostas

A melhor resposta!
2014-08-04T23:44:32-03:00
Olá ritamedeiros96,

Se os canhões têm capacidade de rotação = 360º, podemos dizer que a área que cada um deles cobre é um círculo. Note que o exercício nos diz que esses círculos formado pela cobertura de cada canhão são tangentes, então, podemos desenhar um esquema parecido com o da imagem anexada.
Seja:
Ra = Raio da cobertura do canhão A
Rb = Raio da cobertura do canhão B
Rc = Raio da cobertura do canhão C

Podemos formar as seguintes equações:
Ra + Rb = 9 (Pois a distância entre A e B é 9km, e de acordo com a imagem, essa distância á soma dos raios Ra e Rb)
Rb + Rc = 8
Rc + Ra = 6

Vamos agora isolar um dos raios para encontrar seu valor através do sistema:
Ra + Rb = 9
então:
Ra = 9 -Rb

Rb + Rc = 8
então
Rc = 8 -Rb

Agora, podemos substituir Ra e Rc na terceira equação, veja:
Rc + Ra = 6
8 -Rb +9 -Rb = 6
-2Rb = 6 -17
-2Rb = -11
Rb = -11/-2
Rb = 11/2

Como descobrimos o valor do raio Rb, podemos encontrar o raio Ra:
Ra = 9 -Rb
Ra = 9 -(11/2)
Ra = 7/2

Por fim, encontraremos o raio Rc:
Rc = 8 -Rb
Rc = 8 -(11/2)
Rc = 5/2

Agora, tenha em mente que a área A de um círculo é calculada através da relação A = πR². A área coberta pelos 3 canhões será a soma das área dos 3 círculos de cobertura individual. Então, vamos calcular a área de cada círculo individualmente:

Área canhão A:
ACA = π(7/2)²
AA = (49/4)π km²

ACB = π(11/2)²
ACB = (121/4)π km²

ACC = π(5/2)²
ACC = (25/4)π km²

Logo, a área total de cobertura AT será dada por:
AT = ACA + ACB + ACC
AT = (49/4)π +(121/4)π +(25/4)π
AT = (195/4)π km²

Então, concluímos que a área total coberta, em km² é igual a  \frac{195}{4} \pi

Bons estudos!




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