Dois prédios,A e B,estão situados em um mesmo plano.Da base do prédio A,avista-se o topo do prédio B sob um ângulo de 45 grau com a horizontal,e da base do prédio B avista-se o topo do prédio A sob um ângulo de 60 grau com a horizontal.Se a distância entre A e B,medida em metro, é 20 raiz de 3,determine:
a)a altura do prédio A;
b)a altura do prédio B;

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complicadinha de explicar XD

Respostas

2014-08-09T22:24:20-03:00
Vamos lá.
Primeiro, imagine dois prédios, assim ficará melhor de entender.

O primeiro, você na base dele, consegue ver a parte superior do outro por, então sua visão, comparado a linha reta do chão, faz um ângulo de 45°.
Então, você vai nesse prédio, e sobe nele, só assim, consegue ver o prédio o topo do prédio que estava anteriormente, seu olhar faz um angulo, comparado com a linha reta, de 60°.

Então, curiosa como você é, mediu a distância do primeiro prédio para o outro, dando o resultado de 20√3.

Perceba que você fez um triangulo retângulo nos dois casos, então vamos trabalhar com o primeiro.

No primeiro caso, você fez um ângulo de 45°, e a distancia de um para o outro é de 20√3. Aqui sabemos o lado adjacente(a distancia do primeiro prédio para o outro), porem, não sabemos o lado oposto ao angulo(o tamanho do segundo prédio) e nem a hipotenusa(a distancia da base do prédio 1, para a o topo do prédio dois), então, para descobrir a altura do prédio, precisamos usar uma noção trigonométrica(lei do senos, cossenos e tangente).

Vamos lá.
Como o angulo é 45, precisamos de uma lei que precise do lado adjacente e do tamanho do prédio. Nesse caso, usaremos a lei da tangente de 45°.
Ela diz o seguinte:
Tangente é igual ao cateto(lado) oposto sobre o lado adjacente.
Sabendo disso, ficará assim.
Tangente 45° = X/20√3 , batizaremos o tamanho do prédio de "X" por enquanto.
Agora precisamos do valor da tangente de 45°.             
        30°     45°     60°
Sen  1/2     √2/2    √3/2
Cos  √3/2   √2/2    1/2
Tang  √3/3   1     √3

Sabendo agora o valor da tangente de 45°, que é igual a 1, ficará assim:
1 = X/20√3, então X é igual a 20√3

Essa é a altura do prédio B

Vamos saber a altura do prédio A
Agora vamos para o segundo triângulo retângulo que você criou em cima do prédio B, olhando para o topo do prédio A.

Sabemos o angulo(60°) e sabemos o cateto adjacente( 20√3), agora faremos.
Como precisamos achar o cateto oposto, e só temos o angulo e o cateto adjacente, usaremos outra vez a tangente.
Assim ficará:
Tangete 60° = Y/20√3                Batizaremos Y o cateto oposto. assim ficará
√3 = Y/20√3                             Pois sabemos que a tangente de 60° é √3
√3 . 20√3 = Y                           Multiplicaremos as raizes, então elas se
20 . 3 = Y                                 anularão, sobrando o 3.
Y = 60                                    Aqui achamos o cateto oposto(uma parte do tamanho do prédio B)

Agora veremos o tamanho do prédio B.
Se sabemos que o prédio B tem altura de 20√3, e está olhando o prédio A em cima do prédio B, então será a altura do prédio B mais o lado oposto que você achou agora, ou seja, o cateto oposto que acabou de descobrir, fazendo ficará assim:

20√3 + 60, como não tem como simplificar a equação, ficará esse o resultado.

Altura do prédio A igual a 60+20√3.

Espero ter ajudado. Bons estudos.







2014-08-09T22:25:40-03:00

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Na imagem, deixei B maior que A, mas não é necessariamente verdade, vamos ver com os cálculos.
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a)

Olhando pro triângulo retângulo ABC:

tg~x=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}\\\\\\tg~60\º=\dfrac{h_{A}}{20\sqrt{3}}\\\\\\\sqrt{3}=\dfrac{h_{A}}{20\sqrt{3}}\\\\\\\sqrt{3}*20\sqrt{3}=h_{A}\\\\h=20*3\\\\\boxed{\boxed{h_{A}=60~m}}

b)

Olhando pro triângulo retângulo BCD:

tg~x=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}\\\\\\tg~45\º=\dfrac{h_{B}}{20\sqrt{3}}\\\\\\1=\dfrac{h_{B}}{20\sqrt{3}}\\\\\\1*20\sqrt{3}=h_{B}\\\\\boxed{\boxed{h_{B}=20\sqrt{3}~m}}

É, A é maior que B, mas o tamanho dos prédios na imagem não altera em nada no cálculo
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