(MACKENZIE-SP) Uma pessoa na margem de um rio vê o topo de uma arvore na outra margem sob um ângulo de 60º com a horizontal; quando recua 20 m, vê o topo da mesma arvore sob um ângulo de 30º. O produto da altura da arvore pela largura do rio é, em m²:

a) 100√3
b) 20√3
c) 10(1+√3)
d)20√3/3
e) 100√3/3

obs: No gabarito tem como resposta a letra 'a', no entanto, não entendi como resolver essa questão.

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Respostas

2014-08-12T12:36:10-03:00
Sabendo-se que sen30º = cos60º = 1/2 e que sen60º = cos30º = √3/2, temos que: 
tan30º = sen30º/cos30º = (1/2)/(√3/2) = √3/3 e 
tan60º = sen60º/cos60º = (√3/2)/(1/2) = √3 


Uma pessoa na margem de um rio vê o topo de uma árvore na outra margem sob um ângulo de 60º com a horizontal, quando recua 20 m, vê o topo da mesma árvore sob um ângulo de 30º. 
Largura do rio(lr), Distância pessoa - árvore, depois do recuo: 20m + lr. 

Triângulo 1: altura(h) da árvore eh o cateto oposto(co) do ângulo de 60º e a largura do rio(lr) é o seu cateto adjacente. 
Aplicando a tangente de 60º: 
tan60º = co/ca = h/lr, substituindo tan60º = √3, temos: 
√3 = h/lr => h = √3*lr 

Triângulo 2: altura(h) da árvore continua sendo o cateto oposto(co) do ângulo de 30º e a largura do rio acrescida de 20 m do rio(lr) é o seu cateto adjacente. 
Aplicando a tangente de 30º: 
tan30º = co/ca = h/(20 + lr), substituindo tan30º = √3/3, temos: 
√3/3 = h/(20 + lr) => h = (√3/3)(20 + lr). 
Substituindo h = √3*lr em h = (√3/3)(20 + lr), temos: 
√3*lr = (√3/3)(20 + lr) 
[√3/(√3/3)]*lr = (20 + lr), como √3/(√3/3) = 3, temos: 
3*lr = 20 + lr 
2*lr = 20 
lr = 10m, substituindo em h = √3*lr, 
h = √3*10 = 10√3 

O produto da altura(h) da árvore pela largura do rio(lr) é: 
h*lr = 10√3 * 20 = 200√3. 

O produto da altura da árvore pela largura do rio é 200√3 metros quadrados.
Classificação e comentário do autor da perguntaOk, só na resposta final, vc usou 20 no lugar da largura e é 10, então a resposta correta é 100 raiz de 3. 

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