Uma das arestas de um tetraedro de volume 80 raiz de 3 cm^3 mede 10 cm. determine o volume de um tetraedro semelhante ao primeiro, sabendo que a aresta homologa mede 5 cm.

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Não expliquei como se originaram as fórmulas da altura e da área da base pois ia demorar muito, e também ia ficar muito extenso. É relacionado com a área e altura de um triângulo equilátero.
valeu

Respostas

2014-08-17T15:01:42-03:00

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O tetraedro é um poliedro (sólido geométrico  - figura espacial) formado por 4 triângulos, onde cada um deles é chamado de face do tetraedro.

As arestas do tetraedro equivalem aos lados de cada um dos triângulos:

aresta = lado do triângulo


Adotemos que este tetraedro seja regular:


Fórmula do volume do tetraedro regular:

V =  \frac{1}{3}  \ . \ A_{b} \ .\ h

Onde:

A_{b} = Área da base (base = face) [Área da face do tetraedro = área do triângulo]

 h = Altura


Precisamos, encontrar a área da base e a altura. Para isso, usamos as fórmulas:

h =  \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ a



 A_{b} =   \frac{\sqrt{3}}{4}  \ . \ a^{2}

Onde:

a = aresta


Temos que:

Aresta do tetraedro semelhante = 5 cm

a = 5


Aplicando o valor de a nas fórmulas:


Cálculo da Altura:


h =  \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ a



h =  \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ 5



h =  \frac{5\sqrt{6}}{3}





Cálculo da Área da base:


 A_{b} =   \frac{\sqrt{3}}{4}  \ . \ 5^{2}

 A_{b} =   \frac{\sqrt{3}}{4}  \ . \ 25

 A_{b} =   \frac{25\sqrt{3}}{4}


Substituindo a altura e a base na fórmula do volume, temos:


V =  \frac{1}{3}  \ . \ A_{b} \ .\ h

V =  \frac{1}{3}  \ . \ \frac{25\sqrt{3}}{4}  \ .\ \frac{ 5\sqrt{6}}{3}

V = \frac{1 \ .\ 25 \ . \ 5\sqrt{3 \ . \ 6}}{4 \ . \ 3}

V = \frac{125\sqrt{18}}{12}

V = \frac{125\sqrt{2 \ . \ 3 \ . \ 3}}{12}

V = \frac{125\sqrt{2 \ . \ 3^{3}}}{12}

V = \frac{3 \ .\ 125\sqrt{2}}{12}

Aqui, podemos simplificar o 3 do numerador com o 12 do denominador:



V = \frac{125\sqrt{2}}{4}

Portanto, o volume do tetraedro semelhante é  \frac{125\sqrt{2}}{4} \ cm^{3}

Ou ainda:

31,25  \sqrt{2} cm³