Dois amigos apostam em quem lança uma pedra para o alto e atinge a maior altura Cada pedra é lançada do mesmo ponto e, durante um certo intervalo de tempo, observa-se que cada uma teve um alcance horizontal de 20 m. Para certos números a e b, as pedras descrevem trajetórias parabólicas, uma segundo a parábola de equação y= - \frac{1}{20} x^{2} +a e a outra segundo a parábola y= - \frac{1}{10} x^{2} +b . A maior altura, em metros, atingida por uma das pedras foi de ?

agradeço muito pela resposta !! bem esclarecida ::

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Respostas

2014-08-19T18:17:15-03:00

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Olá, Gabriel.

A altura da pedra é calculada a partir do chão, ou seja, no chão temos y = 0.
Isto significa que o alcance horizontal é a distância entre as duas raízes de cada uma das funções que descrevem as trajetórias.
Para obtermos os valores de ab, devemos, então, calcular as diferenças entre as raízes de cada função e igualar a 20.

Raízes da função da trajetória 1:
-\frac1{20}x^2+a=0\Rightarrow\frac1{20}x^2=a\Rightarrow x^2=20a\Rightarrow x=\pm\sqrt{20a}=\\=\pm\sqrt{4\cdot5a}=\pm2\sqrt{5a}

Amplitude da trajetória 1:
2\sqrt{5a}-(-2\sqrt{5a})=4\sqrt{5a}=20\Rightarrow\sqrt{5a}=\frac{20}4=5\Rightarrow5a=25\Rightarrow a=5

Raízes da função da trajetória 2:
-\frac1{10}x^2+b=0\Rightarrow\frac1{10}x^2=b\Rightarrow x^2=10b\Rightarrow x=\pm\sqrt{10b}

Amplitude da trajetória 2:
\sqrt{10b}-(-\sqrt{10b})=2\sqrt{10b}=20\Rightarrow\sqrt{10b}=\frac{20}2=10\Rightarrow10b=100\Rightarrow b=10

As trajetórias são dadas, portanto, pelas funções y=-\frac1{20}x^2+5y=-\frac1{10}x^2+10

A altura máxima alcançada em cada trajetória é dada pela ordenada do vértice de cada uma das parábolas.

Altura máxima da trajetória 1:
y=-\frac1{20}x^2+5\Rightarrow\Delta=0-4\cdot(-\frac1{20})\cdot5=1\Rightarrow\\\\
y_{v\'ertice}=-\frac{\Delta}{4\cdot(-\frac1{20})}=-\frac1{-\frac15}=5

Altura máxima da trajetória 2:
y=-\frac1{10}x^2+10\Rightarrow\Delta=0-4\cdot(-\frac1{10})\cdot10=4\Rightarrow\\\\ y_{v\'ertice}=-\frac{\Delta}{4\cdot(-\frac1{10})}=-\frac4{-\frac25}=\frac{4\cdot5}2=10

 A maior altura atingida por uma das pedras foi, portanto, de 10 metros.