Os estudiosos das obras de Isaac Newton julgam que ele foi a inteligência suprema da raça humana que produziu o binômio da forma  (x+a)^{n} , o qual é denominado, em sua homenagem, binômio de Newton. No desenvolvimento de  \sqrt{2}+x) ^{6} segundo as potencias decrescentes de x, obtenha o coeficiente do termo central.

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Respostas

2014-08-19T07:54:01-03:00
Termo central ou termo médio, fica
a=raiz(2)
b=x
n=6
Termo central será o T4
Então (n=3)
T(3+1) = 6!/3!(6-3)!*(raiz(2)^(6-3)*x^3
6*5*4/3*2*raiz(3)*x^3
T4=20raiz(2)^3*x^3 (resposta)
A melhor resposta!
2014-08-19T08:57:54-03:00

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Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton:  (a+b)^{n}


T _{p}_{+}_{1} =   \left[\begin{array}{ccc}n\\p\\\end{array}\right]  . \ a^{n - p}\ . \ b^{p}

Onde:

\left[\begin{array}{ccc}n\\p\\\end{array}\right] = C_{n, p} =  \frac{n!}{p!(n - p)!}


É chamado de Número Binomial.

E  C_{n, p} é conhecido como Número Combinatório.


No exercício, pede-se o termo central.

O binômio acima citado terá 7 termos, pois n = 6, onde n é o expoente que está elevando ( \sqrt{2} + x).

Então:

 T_{1} \ T_{2} \ T_{3} \ T_{4} \ T_{5} \ T_{6} \ T_{7}

 T_{4} é o termo.


Usando a fórmula do termo geral:

Onde:

 a = \sqrt{2}
 b = x
 n = 6

Como queremos o termo central ( T_{4} ), façamos p = 3 na fórmula:


T_{3}_{+}_{1} = \left[\begin{array}{ccc}6\\3\\\end{array}\right]  . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}


T_{4} = C_{6, 3} \ . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}


T_{4} =  \frac{6!}{3!(6 - 3)!} \ . \ (\sqrt{2})^{6 - 3}\ . \ x^{3}


T_{4} =  \frac{6.5.4.3!}{3!3.2.1} \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}


Eliminando o 3! de cima com 3! de baixo:


T_{4} =  \frac{6.5.4}{3.2.1} \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}


Simplificando o 6 com o 3 e o 4 com o 2, na fração:


T_{4} = 2 \ . \ 5 \ . \ 2 \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}

T_{4} = 20 \ . \ (\sqrt{2})^{3}\ . \ x^{3}

 T_{4} = 20(\sqrt{2})^{3}x^{3}


Portanto, o coeficiente do termo central deste binômio é 20.







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