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  • Usuário do Brainly
2014-08-19T18:57:58-03:00
Se \dfrac{4x}{x^2+2} é um número inteiro, então existe um inteiro k, tal que:

4x=(x^2+2)k, ou seja, k é o quociente da divisão de 4x por (x^2+2).

Temos que, 4x=kx^2+2k, ou seja, kx^2-4x+2k=0.

Assim, \Delta=(-4)^2-4\cdot k\cdot (2k)=16-8k^2.

Como x é real, devemos ter \Delta>0, isto é,

16-8k^2>0, logo, k^2<2 e obtemos:

-\sqrt{2}<k<\sqrt{2}

Tomando \sqrt{2}=1,4142, concluímos que:

-1,4142<k<1,4142

Como k é um número inteiro, temos três possibilidades: k=-1, k=0, k=1

\rhd k=-1:

Se k=-1, lembrando que, kx^2-4x+2k=0, obtemos:

-x^2-4x-2=0

x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)}}{2\cdot(-1)}

x=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{-2}=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{-2}=-2\pm\sqrt{2}

Logo, x'=-2+\sqrt{2} e x"=-2-2\sqrt{2}.

\rhd k=0

Se k=0, temos que, -4x=0, ou seja, x'''=0

\rhd k=1

Para k=1, obtemos x^2-4x+2=0.

Assim, x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}.

x=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}.

Logo, x""=2+\sqrt{2} e x""'=2-\sqrt{2}.

Portanto, há 5 possíveis valores reais para x, de modo que, \dfrac{4x}{x^2+2} seja um número inteiro.

x=\{-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2},0, 2+\sqrt{2}\}

\text{Alternativa E}