Respostas

2013-08-16T01:53:16-03:00
Pelo algoritmo de Euclides tu fazes divisões sucessivas afim de encontrar o mdc; o mdc de dois números é o resto deixado pela última divisão que não deixa resto zero. Por exemplo, o mdc de 18 e 8 pode ser encontrado assim:
18 = 8.2 + 2 (essa é uma forma compacta e extremamente econômica de se escrever divisões; o dividendo do lado esquerdo da igualdade, o resto num multiplica ninguém e o quociente e divisor estão juntos, tu identifica qual é qual)
8 = 4.2 (o divisor dessa divisão é o resto da divisão anterior)
Como essa divisão foi exata tu tem que o mdc é 2, o último resto diferente de zero.
Indo para o nosso problema...

Chamando os dois números que se quer descobrir de x e y temos (também podia ser y>x, a ordem das letras não vai influenciar nada):

x>y => x=qy+r
y>r => y = q'r + r'
r>r' => r = q''r' + r''
r'>r'' => r' = q'''r'' + r''' (*)

Foi dito na questão de quatro quocientes, então paramos nas quatro divisões. Também é dito que o mdc é 27, portanto r''' = 0 e r'' = 27. Por fim é dito que os quocientes são os menores possíveis e distintos, logo q'''=2, q''=3, q'=1 e q=4 (se q'''=1 tu teria que r'=r'', o que fura o que foi dito em *). Resolvendo essas coisas de baixo pra cima temos:

r'=q'''r''+r''' => r'=2.27+0 => r'=54
r=q''r'+r'' => r=3.54+27 => r=189
y=q'r+r' => y=1.189+54 => y=243
x=qy+r => x=4.243+189 => x=1161 (só por curiosidade)

Como quer o menor dos dois números a resposta é y=243
1 1 1
Putz, tava olhando aqui e vi que tem um problema na resolução! Vou ver aqui e editar o mais rápido possível!!
Não não, conferi aqui de novo. Tá tudo ok! :D
Quando fico com uma questão interessante na cabeça é difícil pra que eu a tire! XDAdorei essa questão, por isso fiquei pensando nela antes de dormir e vi que a resolução que tava antes estava errada. Vim correndo editá-la. Essa daí é a resposta final mesmo, tá tudo ok! De verdade! (fiz com letras num papel, num posso ter me enganado agora :P)