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  • Usuário do Brainly
2014-08-24T05:03:40-03:00
A equação pode ser escrita na forma x^4-y^2=71 e, fatorando x^4-y^2=(x^2-y)(x^2+y), na forma

(x^2-y)(x^2+y)=71.

Como x e y são inteiros, cada um dos fatores x^2-y e x^2+y também é um número inteiro, de modo que escrevemos 71 como o produto de dois números inteiros. 

Como 71 é um número primo, ele só pode ser escrito como produto de inteiros na forma 1\times71 ou 71\times1

Assim, temos somente dois casos a considerar, a saber, x^2-y=71 e x^2+y=1, ou x^2-y=1 e x^2+y=71

Como x,y são inteiros positivos, temos x^4=y^2+71\ge72>16=2^4, portanto, x>2. Em particular, x^2+y=1 é impossível, pois implicaria 1=x^2+y\ge9+1=10.

Assim, resta considerar o caso x^2-y=1 e x^2+y=71. Somando essas duas equações, obtemos 2x^2=72, o que fornece x=\pm6 e, portanto, y=(\pm6)^2-1=35

Como x,y são inteiros positivos, concluímos que a única solução é x=6 e y=35.