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  • Usuário do Brainly
2014-08-24T05:12:55-03:00
Denotemos a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} e b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}. Então:

a^3-b^3=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4 e

ab=\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt[3]{5-4}=\sqrt[3]{1}=1,

De modo que M=a-b satisfaz:
 
M^3=(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=4-3M.

Assim, M^3+3M-4=0, ou seja, o número M é raiz do polinômio x^3+3x-4

Como o número 1 é uma raiz desse polinômio, podemos fatorá-lo e escrever x^3+3x-4 como (x-1)(x^2+x+4)

O trinômio x^2+x+4 tem discriminante negativo, de modo que a única raiz real de x^3+3x-4 é 1 e, portanto, M=1. Em particular, M é um número inteiro.
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2014-08-24T06:45:13-03:00
Solução em anexo  abaixo
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