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  • Usuário do Brainly
2014-08-24T06:01:06-03:00
A soma das k primeiras parcelas de uma progressão aritmética é dada por S_k=\dfrac{1}{2}(a_1+a_k)k, em que a_1 e a_k=a_1+(k-1)r são o primeiro e último termos, respectivamente, e r é a razão. 

A soma dada é a de uma progressão aritmética de n parcelas com primeiro termo a_1=9 e razão r=10, de modo que temos a_n=9+(n-1)10 e, portanto,

S_n=\dfrac{1}{2}\left[9+9+(n-1)10\right]n=9n+(n-1)5n=5n^2+4n.

Como queremos S_n\ge10^5, precisamos encontrar o menor inteiro positivo n tal que 5n^2+4n\ge10^5 ou, equivalentemente, 5n^2+4n-10^5\ge0.

Para isso, resolvemos a equação de segundo grau 5x^2+4x-10^5=0, obtendo as soluções:

x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+20\times10^5}}{10},

e a raiz positiva x_1=\dfrac{1}{10}\left(-4+\sqrt{2~000~016}\right)\approx141,02.

Como 5x^2+4x-10^5 é positivo fora das raízes, por ter coeficiente dominante 5>0, resulta que \boxed{n=142} é o menor inteiro positivo n para o qual S_n é maior do que 10^5.