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2014-08-26T20:06:06-03:00

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\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}

Caso fossemos resolver substituindo x por 1, chegaríamos em sen (0) / 0

Podemos usar a Regra de L'Hopital para resolver limites que geram indeterminações 0/0 ou \infty/\infty

Regra de L'Hopital:

\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}~\dfrac{f(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}~\dfrac{f'(x)}{h'(x)}}}
__________________________

f(x)=sen~(x-1)\\h(x)=x-1

Calculando a derivada de f(x):

f'(x)=\dfrac{d~sen~(x-1)}{dx}=cos~(x-1)*(1x^{1-1}-0)\\\\\\\boxed{f'(x)=cos~(x-1)}

Calculando a derivada de h(x):

h'(x)=1x^{1-1}-0\\h'(x)=1

Logo:

\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{cos~(x-1)}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}~cos~(x-1)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}=cos~(1-1)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}=cos~0\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}~\dfrac{sen~(x-1)}{x-1}=1}}
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