Respostas

2013-08-17T02:10:48-03:00
Note que:
(a^{2}+1)(a^{2}-1)=a^{2^{2}}-1
(a^{2^{2}}-1)(a^{2^{2}}+1)=a^{2^{3}}-1
(a^{2^{3}}-1)(a^{2^{3}}+1)=a^{2^{4}}-1

Ou, de um modo mais geral:
(a^{2^{n}}-1)(a^{2^{n}}+1)=a^{2^{n+1}}-1 (*)

Como m>n tu tens que m=n+k, para algum k natural. Esse k pode ser reescrito como 1+1+1+(...)+1. Daí, usando a identidade * k vezes em a^{2^{n}}+1, tu vais chegar em a^{2^{n+k}}-1=a^{2^{m}}-1.
O que quero dizer com isso? Que a^{2^{n}}+1|a^{2^{m}}-1. Logo o mdc é a^{2^{n}}+1
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Como m>n tu tem que m-1 é maior ou igual que n, então n é igual a um dos elementos do conjunto {1, 2, 3, ..., m-1}, ou seja, um dos fatores daquele produto é igual a a^(2^n)+1. Por outro lado o valor daquele produto é a^(2^m)-1, portanto a^(2^n)+1 divide a^(2^m)-1. mdc significa máximo divisor comum, tu sabe, mas note que o maior divisor de a^(2^n)+1 é ele próprio. Sendo a^(2^n)+1 um divisor comum e sendo o maior divisor de uma das duas expressões temos que a^(2^n)+1 é o mdc.
Essas propriedades do MDC eu manjo cara..
Mas, valeu... Acho que agora entendi... Foi muito bem respondida... Obrigado cara...
por nada. e desculpa por aquela solução esquisita, foi a primeira que me veio à mente. quando pensei mais calmamente veio essa daí dos comentários, mais "limpa"
Postei mais duas de Teoria, depois tu olha la