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A melhor resposta!
  • Usuário do Brainly
2014-08-29T16:03:25-03:00
Fiz com muito carinho!.
Espero ter ajudado.
Boa Sorte!
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Valeu!
Você ajudou demais ismen; muito obrigada mesmo !!! : )
Vamos ver o que sairá daí.
♥‿♥
  • Usuário do Brainly
2014-08-29T16:58:51-03:00
Olá, Loide, boa tarde !

x^2-\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)x+1=0, com ab\ne0.

\Delta=\left(-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)^2-4\cdot1\cdot1

\Delta=\dfrac{a^4+2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}-4

\Delta=\dfrac{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{a^2b^2}

\Delta=\dfrac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}

\Delta=\left(\dfrac{a^2-b^2}{ab}\right)^2

Assim,

x=\dfrac{-\left(-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{a^2-b^2}{ab}\right)^2}}{2\cdot1}=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}\pm\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}

x'=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}=\dfrac{\dfrac{2a^2}{ab}}{2}=\dfrac{2a^2}{2ab}=\boxed{\dfrac{a}{b}}.

x''=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}=\dfrac{\dfrac{2b^2}{ab}}{2}=\dfrac{2b^2}{2ab}=\boxed{\dfrac{b}{a}}.

S=\{\frac{a}{b}, \frac{b}{a}\}.

A soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau, ax^2+bx+c=0 são dados por:

S=x'+x"=\dfrac{-b}{a} e P=x'+x"=\dfrac{c}{a}

Assim, na equação dada temos:

x'+x"=\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)

x'\cdot x"=1

Da primeira equação, tiramos que, x'=\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)-x".

Substituindo na segunda, obtemos:

\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)-x"\right)x"=1

\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)x"-x"^2=1

Ou seja, x"^2-\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)x-1=0 e obtemos:

\Delta=\left(-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)^2-4\cdot1\cdot1

\Delta=\dfrac{a^4+2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}-4

\Delta=\dfrac{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{a^2b^2}

\Delta=\dfrac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}

\Delta=\left(\dfrac{a^2-b^2}{ab}\right)^2

Assim, 

x=\dfrac{-\left(-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)\pm\sqrt{\left(\dfrac{a^2-b^2}{ab}\right)^2}}{2\cdot1}=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}\pm\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}

x'=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}=\dfrac{\dfrac{2a^2}{ab}}{2}=\dfrac{2a^2}{2ab}=\boxed{\dfrac{a}{b}}.

x''=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab}}{2}=\dfrac{\dfrac{2b^2}{ab}}{2}=\dfrac{2b^2}{2ab}=\boxed{\dfrac{b}{a}}.

S=\{\frac{a}{b}, \frac{b}{a}\}.

Como antes.