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  • Usuário do Brainly
2014-09-03T02:36:58-03:00
Primeiramente, vamos provar que 4^{n}-1 é divisível por 3.

Como 4\equiv1\pmod{3}, temos 4^{n}\equiv1^{n}\equiv1\pmod{3}.

Com isso, 4^{n}-1\equiv1-1\equiv0\pmod{3}.

Portanto, \dfrac{4^{n}-1}{3} é um número inteiro, \forall~n\ge1.

Seja \dfrac{4^{n}-1}{3}=q. Queremos mostrar que q é ímpar.

Veja que, 4^{n}-1=3q. Sabemos que, 4^{n} é um número par, qualquer que seja n\ge1.

Assim, 4^{n}-1 é um número ímpar.

Deste modo, 3q também deve ser um número ímpar e, segue que, q não pode ser par.

Portanto, \dfrac{4^{n}-1}{3} é um número inteiro ímpar, \forall~n\ge1.
Ok
Faz assim: a base é n = 1, onde 3 | 4^1 - 1, ou seja, 3 | 3. Pela hipótese, 3 | 4^{n}-1. Vamos provar o passo indutivo, mostrando que 4^{k+1}-1. Veja que, (4^{k+1}-1)-(4^{k}-1) = 4^{k+1}-4^{k}=4^{k}(4-1)=3.4^{k}. Como a diferença entre 4^{k+1}-1 e 4^{k} é múltiplo de 3 e 4^{k}-1 é múltiplo de 3 (por hipótese), temos que, 3 | 4^{k+1}-1. Está provado.
e onde ficou o 3 que de baixo .
Provar que 4^{n}-1/3 é inteiro é o mesmo que provar que 4^{n}-1 é divisível por 3.
ok obrigada