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2015-12-26T19:27:13-02:00

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Olá, Day. Boa tarde!

Vamos representar a figura deste modo:               

         A              
         /|\              
       /  |  \          
     /    |    \        
    /_ _ | _ _\     
B  \     |    /  D            
        \ | /               
         C

Imagine que seja igual uma pirâmide com 4 faces.

Primeiro, precisamos do valor de cada aresta do tetraedro para poder encontrar a altura.Temos as arestas formadas pelos seguintes vetores diretores: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Calculando os vetores, e depois o módulo do mesmo:

AB = B - A
AB = (0, 1, -1) - (-1, 3, 2)
AB = (0 - (-1), 1 - 3, -1 - 2)
AB = (0 + 1, -2, -3) 
AB = (1, -2, -3)

|AB| =  \sqrt{x_{AB}^{2} +
 y_{AB}^{2} + z_{AB}^{2}}
|AB| =  \sqrt{(1)^{2} + (-2)^{2} + 
(-3)^{2}}
|AB| =  \sqrt{1 + 4 + 9}
|AB| =  
\sqrt{14}

AC =  C - A
AC = (2, 0, 1) - (-1, 3, 2)
AC = (2 - (-1), 0 - 3, 1 - 2)
AC = (2 + 1, -3, -1)
AC = (3, -3, -1)
|AC| = 
 \sqrt{x_{AC}^{2} + y_{AC}^{2} + z_{AC}^{2}}
|AC| =  
\sqrt{(3)^{2} + (-3)^{2} + (-1)^{2}}
|AC| =  \sqrt{9 + 9 + 1}

|AC| =  \sqrt{19}

AD =  D - A
AD = (1, -2, 0) - (-1, 3, 2)
AD = (1 - (-1), -2 - 3, 0 - 2)
AD = (1 + 1, -5, -2)
AD = (2, -5, -2)
|AD| =  \sqrt{x_{AD}^{2} + y_{AD}^{2} + z_{AD}^{2}} 

|AD| =  \sqrt{(2)^{2} + (-5)^{2} + (-2)^{2}}
|AD| =  \sqrt{4 + 25 + 4}
|AD| =  \sqrt{33}


Os demais seguem o mesmo raciocínio, então, não colocarei aqui os cálculos deles, somente o resultado:

BC = (2, -1, 2)
|BC| =  \sqrt{9}
|BC| = 3

BD = (1, -3, 1)
|BD| =  \sqrt{11}

CD = (-1, -2, -1)
|CD| =  \sqrt{6}


Sabe-se que o volume do tetraedro, pela fórmula:

V =  \frac{1}{6} . (AB, AC, AD)

Onde:

(AB, AC, AD) = Produto misto dos três vetores

(AB, AC, AD) =   
\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\3&-3&-1\\2&-5&-2\end{array}\right]


(AB, AC, AD) =   
\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\3&-3&-1\\2&-5&-2\end{array}\right]
   
\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\3&-3\\2&-5\end{array}\right]


(AB, AC, AD) = [(1 . (-3) . (-2)) + (-2 . (-1) . 2) + (-3) . 3 . (-5))] - [((-3) . (-3) . 2) + (1 . (-1) . (-5)) + (-2 . 3 . (-2))]
(AB, AC, AD) = (6 + 4 + 45) - (18 + 5 + 12)
(AB, AC, AD) = 6 + 4 + 45 - 18 - 5 - 12
(AB, AC, AD) = 55 - 35
(AB, AC, AD) = 20

V =  \frac{1}{6} . 
(AB, AC, AD)

V =  \frac{1}{6} . 20

V =  
\frac{20}{6}

V =  \frac{10}{3} u.c.


Para encontrar a altura, utilizaremos outra fórmula do volume:

V =  \frac{Ab.h}{3} 


Onde:

Ab =  Área da base (triângulo) do tetraedro


Para a área desse triângulo utilizaremos a fórmula:

A =  \sqrt{p.(p-a) . (p - b) . (p -
 c)}

Onde:

p = semi-perímetro do triângulo
a, b e c = lados desse triângulo

p =  \frac{a+b+c}{2}

p =  
\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}


Substituindo:

A =  
\sqrt{p.(p-a) . (p - b) . (p - c)}

 
A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}-3) .
 (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2} - \sqrt{6}) . 
(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2} - \sqrt{11})

A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}-6}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}-2 \sqrt{6}}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11} - 2\sqrt{11}}{2})

A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{11} - 3}{2}) .
 (\frac{3+\sqrt{11}-\sqrt{6}}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}-\sqrt{11}}{2}) 


A = \ \sqrt{(\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{11}-9+6+\sqrt{66}-3\sqrt{6}+\sqrt{66}-3\sqrt{11}}{4}).(\frac{9+3\sqrt{6}-3\sqrt{11}+3\sqrt{11}+\sqrt{66}-11-3\sqrt{6}-6+\sqrt{66}}{4})

A = \sqrt{(\frac{8+2\sqrt{66}}{4}) \ . \ (\frac{-8+2\sqrt{66}}{4})}

A = \sqrt{\frac{-64+16\sqrt{66}-16\sqrt{16}+4.(66)}{16}}

A = \sqrt{\frac{-64+264}{16}}

A = \sqrt{\frac{200}{16}}

A = \sqrt{\frac{25}{2}}

A = \frac{25}{\sqrt{2}}


Racionalizando:

A = \frac{25}{\sqrt{2}} \ . \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

A = \frac{25\sqrt{2}}{2}


Aplicando a fórmula do volume:

V =  \frac{Ab.h}{3} 


 \frac{10}{3} \ = \ \frac{\frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h}{3}

\frac{10}{3} \ . \ 3 \ = \ (\frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h)

10 \ = \ \frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h

h \ = \ \frac{10}{\frac{25\sqrt{2}}{2}}

h \ = \ 10 \ . \ \frac{2}{25\sqrt{2}}

h \ = \ \frac{20}{25\sqrt{2}}

h \ = \ \frac{4}{5\sqrt{2}}

h \ = \ \frac{4}{5\sqrt{2}} \ . \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

h \ = \ \frac{4\sqrt{2}}{5.2}

h \ = \ \frac{4\sqrt{2}}{10}

\boxed{\bold{h \ = \ \frac{2\sqrt{2}}{5}}}