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A melhor resposta!
  • Usuário do Brainly
2014-09-04T03:15:04-03:00
Primeiro método:

Temos que:

i=i, ~~~~i^2=(-1),~~~~i^3=-i~~~~i^4=1,

i^5=i~~~~,i^6=(-1),~~~~i^7=-i,~~~~i^{8}=1,

\dots

De modo geral, i^{4n}=1,~i^{4n+1}=i~,i^{4n+2}=-1 e i^{4n+3}=-i, de modo que,

i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}+i^{4n+3}=1+i+(-1)+(-i)=0.

Isto nos garante que se escolhermos quatro potências consecutivas de i, a soma delas será zero.

Com isso, i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=i^{49}+i^{50}, pois 50=4\cdot12+2.

Como 49=4\cdot12+1, temos i^{49}=i.

Analogamente, sendo 50=4\cdot12+2, segue que, i^{50}=-1.

Logo:

i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=i-1.


Segundo método:

i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}

Essa sequência forma uma PG de 50 termos, com razão igual a i e a_1=i.

Deste modo, i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{i\cdot(i^{50}-1)}{i-1}.

i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{i^{51}-i}{i-1}.

Como 51=4\cdot12+3, temos i^{51}=-i e, portanto:

i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{-i-i}{i-1}

i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{-2i}{i-1}=i-1

Já que, (i-1)^2=i^2-2i+1=(-1)-2i+1=-2i

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Ótima resolução, parabéns!
Obrigada (: